Обычная логика такая: не хочу, чтобы меня узнавали — открываю приватное окно, и всё, я новый посетитель. Логика была верной примерно до середины десятых годов.

Сейчас узнавание держится не на cookie, а на наборе свойств самого браузера. Их не надо никуда сохранять — они просто есть, и по их сочетанию посетитель определяется с высокой надёжностью. Очистка хранилища на это не влияет никак: удалять там нечего.